The geometry of flip graphs and mapping class groups

The space of topological decompositions into triangulations of a surface has a natural graph structure where two triangulations share an edge if they are related by a so-called flip. This space is a sort of combinatorial Teichm\"uller space and is quasi-isometric to the underlying mapping class group. We study this space in two main directions. We first show that strata corresponding to triangulations containing a same multiarc are strongly convex within the whole space and use this result to deduce properties about the mapping class group. We then focus on the quotient of this space by the mapping class group to obtain a type of combinatorial moduli space. In particular, we are able to identity how the diameters of the resulting spaces grow in terms of the complexity of the underlying surfaces.Comment: 46 pages, 23 figure

Iperbolicita' del complesso delle curve

Nel 1978, nel contesto della geometria degli spazi di Teichm\"uller, Harvey introduce il complesso delle curve di una superficie puntata $(\Sigma,\Pi)$. Sono identificati dei dischi \emph{banali} in $\Sigma$: dischi ``embedded'', ciascuno dei quali contiene al pi\`u un elemento di $\Pi$. Sono dette \emph{essenziali} le curve semplici chiuse che non sono bordo di tali dischi; ciascuna di esse, a meno di omotopia libera su $\Sigma \setminus \Pi$, costituisce un vertice per il complesso delle curve $\mathscr{T}(\Sigma,\Pi)$. Tale oggetto \`e un complesso simpliciale in cui un numero finito di vertici genera un simplesso se e solo se esistono realizzazioni disgiunte delle curve che li definiscono. Lo spazio $\mathscr{T}(\Sigma,\Pi)$ \`e metrizzabile: su di esso \`e possibile porre una distanza $d$ tale per cui tutti i lati abbiano lunghezza unitaria ed esso risulti uno spazio di lunghezze. Il presente lavoro di tesi sviluppa il problema della Gromov-iperbolicit\`a del complesso delle curve. In un articolo del 1999 Howard A. Masur e Yair M. Minsky hanno mostrato che, fatta eccezione per un numero finito di casi, il complesso delle curve $(\mathscr{T}(\Sigma,\Pi),d)$ \`e uno spazio Gromov-iperbolico. Nel 2006 Brian Bowditch pubblica una diversa dimostrazione dello stesso teorema, utilizzando tecniche esclusivamente combinatorie. Questa tesi ripercorre la dimostrazione di tale teorema secondo la linea gi\`a esposta da Bowditch. Complessivamente l'elaborato si divide in cinque capitoli. Nel primo capitolo si richiamano le definizioni di base della geometria di larga scala su spazi metrici, si presenta la definizione di Gromov-iperbolicit\`a e si illustrano alcune propriet\`a geometriche da essa implicate (in particolare, l'esistenza di un \emph{sistema di centri e linee}). Il secondo capitolo illustra diversi criteri di Gromov-iperbolicit\`a. Particolare risalto \`e dato ai criteri di disuguaglianze isoperimetriche ed al criterio di esistenza di linee e centri. Si mostra che, definita un'opportuna nozione di \emph{bound isoperimetrico}, uno spazio che soddisfi un bound isoperimetrico subquadratico \`e Gromov-iperbolico; da tale teorema si deduce che uno spazio che ammette un sistema di linee e centri \`e Gromov-iperbolico. Nel terzo capitolo vengono presentati il complesso delle curve e le sue prime propriet\`a. Si presentano i casi eccezionali; si mostra come in tutti gli altri casi il complesso sia connesso per archi ed abbia dimensione finita (dipendente solo dal genere della superficie e dal numero delle punture). \`E definito il numero di intersezione fra due vertici ed \`e introdotto l'1-scheletro del complesso, il cosiddetto \emph{grafo delle curve}. Il capitolo si conclude presentando una relazione numerica fra la distanza di due vertici sul complesso ed il loro rispettivo numero di intersezione. \\ Il quarto capitolo \`e interamente dedicato alle superfici. Ivi si introducono le nozioni di superficie euclidea a singolarit\`a coniche, di lunghezze di curve su superfici singolari; \`e presentata una classe di curve \emph{efficienti} e si illustrano risultati di esistenza di anelli ``embedded'' di data ampiezza. Si illustra come, partendo da una superficie topologica puntata $(\Sigma, \Pi)$ e da un \emph{riferimento combinatorio} $\{\alpha,\beta\}$ su di essa, si possa costruire una superficie $S(\alpha,\beta)$ euclidea a singolarit\`a coniche. Le propriet\`a di tale superficie permettono di legare fra loro questioni combinatorie sul complesso delle curve e i risultati esposti sulle superfici euclidee a singolarit\`a coniche. Nell'ultimo capitolo si espone la dimostrazione del teorema di iperbolicit\`a del complesso. Tale problema \`e ricondotto a quello dell'iperbolicit\`a del solo grafo; nella dimostrazione si d\`a esplicita costruzione di un sistema di linee e centri, utilizzando i risultati combinatori trovati nel quarto capitolo

The model theory of the curve graph

In this paper we develop a bridge between model theory, geometric topology, and geometric group theory. In particular, we investigate the Ivanov Metaconjecture from the point of view of model theory, and more broadly we seek to answer the general question: why does the curve graph of a surface play such a central role in the study of surfaces and mapping class groups? More specifically, we consider a surface $\Sigma$ of finite type and its curve graph $\mathcal C(\Sigma)$, and we investigate its first-order theory in the language of graph theory. Crucially, $\mathcal C(\Sigma)$ is bi-interpretable with a certain object called the augmented Cayley graph of the mapping class group of the surface. We use this bi-interpretation to prove that the theory of the curve graph is $\omega$--stable, to compute its Morley rank, and to show that it has quantifier elimination with respect to the class of $\forall\exists$--formulae. We also show that many of the complexes which are naturally associated to a surface are interpretable in $\mathcal C(\Sigma)$. This shows that these complexes are all $\omega$--stable and admit certain a priori bounds on their Morley ranks. We are able to use Morley ranks to prove that various complexes are not bi--interpretable with the curve graph. As a consequence of quantifier elimination, we show that algebraic intersection number is not definable in the first order theory of the curve graph. Finally, we prove that the curve graph of a surface enjoys a novel phenomenon that we call interpretation rigidity. That is, if surfaces $\Sigma_1$ and $\Sigma_2$ admits curve graphs that are mutually interpretable, then $\Sigma_1$ and $\Sigma_2$ are homeomorphic to each other. Along the way, numerous technical results are obtained.Comment: 123 pages, many figures, completely rewritten and extended, with a large number of new and refined results. New theory of interpretation rigidity is developed and include

COMBINATORIAL RIGIDITY OF ARC COMPLEXES

Abstract. We study arc complexes of surfaces in the most general setting of surfaces with marked points in the interior and on the boundary. In particular, we prove that except a few cases everyautomorphism is inducedbyahomeomorphism of thesurface whichfixesthemarked points setwise and the isomorphism type of these arc complexes determines the topological data of the underlyingsurface. Our proofs are based on a combinatorial approach which leads to new information on the geometry of these objects and are independent of all the other well-known combinatorial rigidity results. hal-00771195, version 3- 9 Mar 2013 1

Méthodes combinatoires en théorie de Teichmüller

In this thesis we deal with combinatorial and geometric properties of arc complexes and triangulation graphs, and we will provide some applications to the study of the mapping class group and to the Teichmüller theory of a bordered surface. The thesis is divided into two parts. In the former we deal with the problem of combinatorial rigidity of arc complexes. In the latter we study some large-scale properties of the arc complex and the 1-skeleton of its dual, the so-called ideal triangulation graph.Dans cette thèse nous étudions certains propriétés combinatoires et géométriques des complexes d'arcs des surfaces de type fini. Nous démontrons que le groupe d'automorphisme du complexe d'arcs est le mapping class group de la surface. Nous étudions aussi le graphe des triangulations idéales et nous donnons certains applications au espaces de Teichmueller des surfaces avec bord